Eine
ganz kurze Einführung in die Logik
Als nächstes gehe ich die Spalten der großen
Wahrheitstafel durch und beschreibe sie. Dabei gebe ich den Namen der Verknüpfung
an, ihre Reduktion auf die Operatoren UND, ODER und NICHT, ihr Symbol in der Formelsprache
und ihre Eigenschaften. Dazu ist anzumerken, daß zwei der Merkmale nicht
eindeutig sind. Weder für die Namen noch für die Formelzeichen der Verknüpfungen
gibt es einen anerkannten Standard. Die Formelzeichen werden nicht auf jedem Computer
richtig dargestellt.
Bei den Eigenschaften beschränke ich mich auf
drei formale Merkmale:
Kommutativität, Assoziativität
und Idempotenz.
DEFINITION: Eine Verknüpfung
* ist genau dann kommutativ, wenn gilt: A*B=B*A. Kommutativität
ist gegeben, wenn in der Tabelle Zeile 2 und Zeile 3 den gleichen Wahrheitswert
enthalten.
DEFINITION: Eine Verknüpfung
* ist genau dann assoziativ, wenn gilt: A*(B*C)=(A*B)*C
DEFINITION: Eine Verknüpfung
* ist genau dann idempotent, wenn gilt: A*A=A. Idempotenz ist gegeben,
wenn in der Tabelle Zeile 1=w und Zeile 4=f ist.
In den folgenden Wahrheitstafeln werden
Definitionen gelb hinterlegt, Beweise grün und Widersprüche rot.
3.1 Tautologie
Definition:
A |
B |
Tautologie |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
Die Tautologie wird in jedem Falle wahr. In
einer Tautologie können beliebig viele Sätze miteinander verknüpft
sein. Es gibt unendlich viele Tautologien. Eine ist zum Beispiel A ODER
NICHT-A.
Beweis durch Wahrheitstafel:
A |
NICHT-A |
A ODER NICHT-A |
w |
f |
w |
f |
w |
w |
Die Tautologie ist kommutativ, assoziativ,
aber nicht idempotent.
Beweis der Assoziativität:
A*(B*C) = A*w = w
(A*B)*C = w*C = w
3.2 Adjunktion
Definition:
A |
B |
ODER |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
Auch Alternation genannt. oben eingeführt
unter dem Namen ODER. Kommutativ, assotiativ und idempotent.
Formelzeichen: ODER, ∨ Ú,
v
Beweis der Assoziativität durch Wahrheitstafel:
A |
B |
C |
AvB |
BvC |
(AvB)vC |
Av(BvC) |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
3.3 Implikation
Definition:
A |
B |
B=>A |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
Implikation B => A. Siehe 3.5
3.4 A*B=A
Definition:
A |
B |
* |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
Trivial. Assoziativ, idempotent, nicht kommutativ.
3.5 Implikation
Definition:
A |
B |
A=>B |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
Auch Konditional genannt. Entspricht etwa
normalsprachlichen Wendungen wie "daraus folgt", "wenn...dann". Unterscheidet
sich vom intuitiven Verständnis dadurch, daß im Falle A (f)
die Verknüpfung immer wahr ist.
Formelzeichen: =>, ->, Þ
Reduktion: NICHT-A ODER B
Beweis:
A |
B |
NICHT-A |
A=>B |
NICHT-A ODER B |
w |
w |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
w |
Assoziativität liegt nicht vor, wegen
Zeile 6 und Zeile 8 der folgende Tabelle:
A |
B |
C |
A=>B |
B=>C |
(A=>B)=>C |
A=>(B=>C) |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
f
| w
|
f |
f |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f
| w
|
Definition:
A |
B |
* |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
Trivial. Idempotent, assoziativ, nicht kommutativ.
Beweis der Assoziativität (gilt auch
für 3.4.):
A*(B*C) = B*C = C
(A*B)*C = B*C = C
3.7 Äquivalenz
Definition:
A |
B |
A<=>B |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
Auch Bi-Konditional. Zwei äquivalente
Sätze sind in logischen Formeln austauschbar.
Reduktion: (NICHT-A ODER B) UND (NICHT-B
ODER A)
= (A=>B) UND (B=>A) [nach 3.5]
Beweis:
A |
B |
A=>B |
B=>A |
(A=>B) UND (B=>A) |
A<=>B |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
w |
Kommutativ und assoziativ.
Formelzeichen: <=>, <->,
Û, º
Beweis der Assotiativität:
A |
B |
C |
A<=>B |
B<=>C |
A<=>(B<=>C) |
(A<=>B)<=>C |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
f |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
Definition:
A |
B |
A UND B |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
Oben eingeführt mit UND.
Kommutativ, assoziativ und idempotent.
Formelsprache:A UND B, AB, A&B,
AÙB
, +, ∧
Beweis der Assoziativität :
A |
B |
C |
A und B |
B und C |
(A und B) UND C |
A UND (B und C) |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
ZWISCHENBEMERKUNG:
Die Spalten 9 - 16 stellen symmetrisch die Negationen
der Spalten 1.-8. dar. Es gilt also für die Verknüpfung *(n) mit der
Nummer n:
NICHT-(A *(n) B) = A *(17-n) B .
Keiner der Operatoren ist idempotent. Die Kommutativität
verhält sich symmetrisch.
3.9 Scheffer-Strich
Definition:
A |
B |
A/B |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
Reduktion: NICHT-(A UND B)
Formelzeichen: /
Kommutativ.
Nicht assoziativ:
A |
B |
C |
A/B |
B/C |
(A/B)/C |
A/[B/C] |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
w
| f
|
w |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
f |
f |
w |
w |
w
| f
|
f |
w |
w |
w |
f |
f
| w
|
f |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
w |
f
| w
|
f |
f |
f |
w |
w |
w |
w |
3.10
Kontravalenz oder Disjunktion
Definition:
A |
B |
A>-<B |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
Normalsprachlich: entweder... oder
Formelzeichen:>-<
Kommutativ.
Assoziativ. Beweis:
A |
B |
C |
A>-<B |
B>-<C |
(A>-<B) >-< C |
A >-< (B>-<C) |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
Definition:
A |
B |
NICHT B |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
Formelsprache: -B, ¬B
Kommutativ und assoziativ analog zu den
Spalten 4 und 6.
3.12 A UND NICHT-B
Definition:
A |
B |
* |
w |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
Nicht kommutativ.
Nicht assotiativ:
A |
B |
C |
A*B |
B*C |
(A*B)*C |
A*(B*C) |
w |
w |
w |
f |
f |
f
| w
|
w |
w |
f |
f |
w |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
f
| w
|
w |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
3.13 Negation
Oben eingeführt mit NICHT.
Definition:
A |
B |
NICHT A |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
Formelsprache: -A, ¬A
Kommutativ und assoziativ analog zu den
Spalten 4 und 6 der Übersichtstabelle:
Alle möglichen Verknüpfungen
A*B
A |
B |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
f |
3.14 NICHT-A
UND B
Definition:
A |
B |
* |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
Nicht kommutativ.
Nicht assoziativ:
A |
B |
C |
A*B |
B*C |
(A*B)*C |
A*(B*C) |
w |
w |
w |
f |
f |
w
| f
|
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
f |
w |
w
| f
|
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
f |
Definition:
A |
B |
A\B |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
Reduktion: NICHT-(A ODER B).
Formelzeichen: \
Kommutativ.
Nicht assoziativ:
A |
B |
C |
A\B |
B\C |
(A\B)\C |
A\(B\C) |
w |
w |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
f |
w
| f
|
w |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
w
| f
|
f |
w |
w |
f |
f |
f
| w
|
f |
w |
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
w |
w |
f |
f
| w
|
f |
f |
f |
w |
w |
f |
f |
3.16 Kontradiktion
Definition:
A |
B |
Kontradiktion |
w |
w |
f |
w |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
f |
f |
Jeder Satz, der logisch falsch ist.
Kommutativ und assoziativ analog zu Spalte
1.
Eine Kontradiktion ist zum Beispiel A UND
NICHT-A.
Beweis:
A |
-A |
A UND -A |
Kontradiktion |
w |
f |
f |
f |
f |
w |
f |
f |
Eine ganz
kurze Einführung in die Logik
Urheberrecht:
Achim Wagenknecht
http://achimwagenknecht.de
Zuletzt
aktualisiert am 30.04.1999