Eine ganz kurze
Einführung in die Logik
- Sätze
- Logische
Verknüpfungen
- Die zweistelligen
Satzoperatoren
- Reduktion
der Operatoren
auf nur eine Verknüpfung
- Konstruktion
mehrstelliger
Operatoren
- Auswertung
eines Schemas
- Analogie
zur Mengenlehre
- Quantoren
- Literatur
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8. Quantoren
Gegeben sei eine Kette von Aussagen, die alle
mit dem gleichen Operator verknüpft sind:
A UND B UND C UND D UND E
Diese Schreibweise kürzt man ab zu
/\ A,B,C,D,E
oder zu
/\ A,...,E
Oder man definiert sich eine Menge, die
die gegebenen Aussagen enthält
M = {A,B,C,D,E},
und schreibt die Verknüpfung für
alle Aussagen, die in dieser Menge enthalten sind
/\ X e M .
Das ist natürlich wenig sinnvoll. Wenn
man aber lauter gleiche Aussagen über verschiedene Objekte hat, also
z.b.:
Erna ist schön. UND Lisa ist schön.
UND Emma ist schön. ,
dann kann man ein Prädikat bilden: S(x):=
x ist schön, die Objekte, über die etwas ausgesagt wird, in
einer Menge zusammenfassen: M={Erna, Lisa, Emma}, und schreiben:
/\ xeM: S(x) .
Oder in dem abstrakten Beispiel:
A,...,E=F(x1),...,F(x5) ; M={x1,...,x5} ;
/\ xeM: F(x) .
Eine solche Aussage nennt man All-Aussage
und das /\ Allquantor, weil die Aussage behauptet, F treffe auf alle x
der Menge M zu. Interessant (d.h. sinnvoll aber problematisch) wird das
Quantifizieren bei Mengen, die sehr groß bis unendlich sind.
Einen Quantor kann man konstruieren aus
Operatoren, die kommutativ und assoziativ sind, weil es nicht sinnvoll
ist, eine bestimmte Reihenfolge der Aussagen anzunehmen. Eine bestimmte
Reihenfolge kann man nur annehmen bei Mengen, die auf der Menge der natürlichen
Zahlen abbildbar sind.
Es ergibt sich, daß 3 Quantoren konstruierbar
sind, und zwar der Allquantor aus der Konjunktion, der Existenzquantor
aus der Adjunktion und ein Quantor aus der Äquivalenz.
Dieser dritte Quantor wird nicht benutzt,
weil er sich auf den Allqantor zurückführen läßt.
Er sagt ja nur, daß eine Menge von Aussagen alle den gleichen Wahrheitswert
haben sollen, und das kann man auch so ausdrücken:
/\ F(x) ODER /\ -F(x) .
Bleiben also der Allquantor /\ und der Existenzquantor
\/.
Der Allquantor bedeutet: Für alle x
(der Menge M) gilt F;
der Existenzquator bedeutet: Es gibt mindestens
ein x (der Menge M), für das gilt F.
Man schreibt den Allquantor auch mit einem
umgekehrten großen A und den Existenzquator mit einem umgekehrten
großen E. Für den Existenzquantor gibt es noch die Schreibweise
mit Punkt oder Ausrufezeichen, die bedeuten: Es gibt genau ein x (der
Menge M), für das gilt F.
Einige Quantorenregeln:
/\F(x) => \/F(x)
¬/\F(x) <=> \/¬F(x)
¬F(a) => ¬/\F(x)
¬\/F(x) => /\¬F(x)
F(a) => \/F(x)
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