Eine ganz kurze
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4. Reduktion der Operatoren auf nur eine VerknüpfungIn der Tabelle der möglichen zweistelligen Satzoperatoren sind zwei Verknüpfungen zu finden, die alle anderen Operatoren ausdrücken können. Die beiden Operatoren findet man leicht durch eine Voraussetzung und durch Probieren.Die Voraussetzung ist, daß der gesuchte Operator auch die Negation darstellen können muß. Also: A*A= NICHT-A. Daraus folgt, daß man aus der Tabelle die Spalten aussuchen muß, die die übereinstimmenden Wahrheitswerte von A und B negieren. Also alle Spalten, in deren erster Zeile f und in deren letzter Zeile w steht. Das sind folgende:
Mit den Spalten 9. und 15. konstruiere ich jetzt jeweils die Operatoren NICHT, ODER und UND. Aus diesen kann man dann - wie oben gezeigt - alle anderen Verknüpfungen erzeugen. |
Nach Voraussetzung gilt: NICHT-A = A/A.
Außerdem ergibt sich:
A UND B = (A/B)/(A/B)
Beweis:
| A | B | A/B | A UND B | (A/B)/(A/B) |
|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | w |
| w | f | w | f | f |
| f | w | w | f | f |
| f | f | w | f | f |
Beweis:
| A | B | A/B | A/A | B/B | A ODER B | (A/A)/(B/B) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | f | f | f | w | w |
| w | f | w | f | w | w | w |
| f | w | w | w | f | w | w |
| f | f | w | w | w | f | f |
Nach Vorraussetzung gilt:
NICHT-A = A/A.
Außerdem ergibt sich:
A ODER B = (A\B) \ (A\B)
Beweis:
| A | B | A\B | A ODER B | (A\B)\(A\B) |
|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | w |
| w | f | f | w | w |
| f | w | f | w | w |
| f | f | w | f | f |
Für UND ergibt sich:
A UND B = (A\A)\(B\B).
Beweis:
| A | B | A\B | A\A | B\B | A UND B | (A\A)\(B\B) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | f | f | f | w | w |
| w | f | f | f | w | f | f |
| f | w | f | w | f | f | f |
| f | f | w | w | w | f | f |
Eine ganz kurze Einführung
in die Logik
Urheberrecht: Achim Wagenknecht
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Zuletzt aktualisiert am 09.02.2006